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某地區(qū)的一種特色水果上市時間能持續(xù)5個月,預測上市初期和后期會因供不應求使價格呈連續(xù)上漲態(tài)勢,而中期又將出現供大于求使價格連續(xù)下跌,現有三種價格模擬函數:①f(x)=p•qx;②f(x)=logqx+p;③f(x)=(x-1)(x-q)2+p(以上三式中p、q均為常數,且q>2).
(1)為準確研究其價格走勢,應選哪種價格模擬函數,為什么?
(2)若f(1)=4,f(3)=6,①求出所選函數f(x)的解析式(注:函數的定義域是[1,6].其中x=1表示4月1日,x=2表示5月1日,…,以此類推);②為保證果農的收益,打算在價格下跌期間積極拓寬外銷,請你預測該水果在哪幾個月內價格下跌.
分析:(1)欲找出能較準確反映數學成績與考試序次關系的模擬函數,主要依據是呈現前幾次與后幾次均連續(xù)上升,中間幾次連續(xù)下降的趨勢,故可從三個函數的單調上考慮,前面兩個函數沒有出現兩個遞增區(qū)間和一個遞減區(qū)間,應選f(x)=(x-1)(x-q)2+p為其成績模擬函數.
(2)由題中條件:f(0)=4,f(2)=6,得方程組,求出p,q即可,從而得到f(x)的解析式
(3)利用導數即可預測該果品在哪幾個月份內價格下跌.
解答:解:(1)因為f(x)=pqx,f(x)=logqx+q是單調函數,f(x)=(x-1)(x-q)2+q中,
f′(x)=3x2-(4q+2)+q2+2q,令f′(x)=0,得x=q,x=
q+2
3
,f(x)有兩個零點,可以出現兩個遞增區(qū)間和一個遞減區(qū)間,所以應選f(x)=(x-1)(x-q)2+p為其成績模擬函數.
(2)(1)由f(1)=4,f(3)=6,得
p=4
2(2-q)2
又q>2
+p=6
p=4
q=4

f(x)=x3+9x2+24x-12(1≤x≤12,且x∈Z).
(2)由f′(x)=3x2+18x+24<0得:5≤x≤6,
預測該果品在5、6月份內價格下跌.
點評:本小題主要考查函數模型的選擇與應用,屬于基礎題.解決實際問題通常有四個步驟:(1)閱讀理解,認真審題;(2)引進數學符號,建立數學模型;(3)利用數學的方法,得到數學結果;(4)轉譯成具體問題作出解答,其中關鍵是建立數學模型.
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(2007•揭陽二模)某地區(qū)的一種特色水果上市時間僅能持續(xù)幾個月,預測上市初期和后期會因供不應求使價格呈連續(xù)上漲的態(tài)勢,而中期又將出現供大于求使價格連續(xù)下跌,為準確研究其價格走勢,下面給出的四個價格模擬函數中合適的是(其中p,q為常數,且q>1,x∈[0,5],x=0表示4月1日,x=1表示5月1日,…以此類推)(  )

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A、f(x)=p•qxB、f(x)=px2+qx+1C、f(x)=plnx+qx2D、f(x)=x(x-q)2+p

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(1)為準確研究其價格走勢,應選哪種價格模擬函數,為什么?
(2)若f(1)=4,f(3)=6,①求出所選函數f(x)的解析式(注:函數的定義域是[1,6].其中x=1表示4月1日,x=2表示5月1日,…,以此類推);②為保證果農的收益,打算在價格下跌期間積極拓寬外銷,請你預測該水果在哪幾個月內價格下跌.

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(1)為準確研究其價格走勢,應選哪種價格模擬函數,為什么?

(2)若,求出所選函數的解析式(注:函數的定義域是).其中表示4月1日,表示5月1日,…,依此類推;

(3)為保護果農的收益,打算在價格下跌期間積極拓寬外銷,請你預測該果品在哪幾個月內價格下跌.

 

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