Question

已知

a

=（

3

sin2x，cos2x），

b

=（cos2x，-cos2x）．
（Ⅰ）若當(dāng)x∈（

7π

24

，

5π

12

）時，

a

•

b

+

1

2

=-

3

5

，求cos4x的值；
（Ⅱ）cosx≥

1

2

，x∈（0，π），若關(guān)于x的方程

a

•

b

+

1

2

=m有且僅有一個實根，求實數(shù)m的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）首先根據(jù)向量的數(shù)量積，進一步對三角函數(shù)進行恒等變換，結(jié)合題中的定義域，求出cos4x的值．
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的交點情況，利用函數(shù)的圖象求出參數(shù)m的值．

解答： 解：（1）∵已知

a

=（

3

sin2x，cos2x），

b

=（cos2x，-cos2x）．
∴

a

•

b

+

1

2

=

3

sin2xcos2x-cos22x+

1

2

=

3

2

sin4x-

1

2

cos4x=sin（4x-

π

6

），
∵

a

•

b

+

1

2

=-

3

5

，
∴sin（4x-

π

6

）=-

3

5

，
∵x∈（

7π

24

，

5π

12

），
∴4x-

π

6

∈（π，

3π

2

），
∴cos（4x-

π

6

）=-

4

5

，
∴cos4x=cos[（4x-

π

6

）+

π

6

]=cos（4x-

π

6

）cos

π

6

-sin（4x-

π

6

）sin

π

6

）=

3-4 3

10

．
（2）∵x∈（0，π），cosx在（0，π）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
∴0＜x≤

π

3

令f（x）=

a

•

b

+

1

2

=sin（4x-

π

6

）  g（x）=m
根據(jù)在同一坐標(biāo)系中函數(shù)的圖象求得：m=1或m=-

1

2

．
故答案為：
（1）cos4x=

3-4 3

10

；
（2）m=1或m=-

1

2

．

點評：本題考查的知識點：向量的數(shù)量積，三角函數(shù)式的恒等變換，三角函數(shù)的求值，函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的圖象，以及參數(shù)的取值問題．