Question

已知矩形ABCD，過A作SA⊥平面AC，再過A作AE⊥SB交SB于E，過E作EF⊥SC交SC于F．
（1）求證：AF⊥SC；
（2）若平面AEF交SD于G，求證：AG⊥SD．

Answer 1

考點(diǎn)：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）首先，證明SC⊥平面AEF即可，得到AF⊥SC；
（2）首先，證明CD⊥AD，然后，得到CD⊥平面ADS，再結(jié)合（1），證明AG⊥平面SDC，從而得到AG⊥SD．

解答： 證明：（1）∵SA⊥平面AC，
∴SA⊥BC．
∵AB⊥BC，且SA∩AB=A，
∴BC⊥平面SAB，
∴BC⊥AE，
又∵AE⊥SB，且SB∩BC=B，
∴AE⊥平面SBC，
∴AE⊥SC，且EF⊥SC，AE∩EF=E，
∴SC⊥平面AEF，
∴AF⊥SC．
（2）∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥CD，
又∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD⊥AD，
∴CD⊥平面ADS，
∴CD⊥AG，由（1）得SC⊥平面AEF，而AG在平面AEF上，
∴SC⊥AG，
∴AG⊥平面SDC，
∴AG⊥SD．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了空間中直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定和性質(zhì)等知識，屬于中檔題．