Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b，若存在實(shí)數(shù)m，使得|f（m）|≤

1

4

，|f（m+1）|≤

1

4

，則判別式△=a²-4b的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：存在實(shí)數(shù)m，使得|f（m）|≤

1

4

，|f（m+1）|≤

1

4

同時(shí)成立，即為兩變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值都小于等于

1

4

的兩變量之間間隔不超過(guò)1，故須對(duì)a²-4b和-

1

4

，

1

4

的大小分情況討論，求出a²-4b的取值范圍，進(jìn)而求得判別式△=a²-4b的取值范圍．

解答： 解：若存在實(shí)數(shù)m，使得|f（m）|≤

1

4

，|f（m+1）|≤

1

4

同時(shí)成立，即為兩變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值都小于等于

1

4

的兩變量之間間隔不超過(guò)1，故須對(duì)a²-4b和-

1

4

，

1

4

的大小分情況討論
①當(dāng)-

1

4

≤a²-4b≤0時(shí)，由方程x²+ax+b=

1

4

，解得|x₁-x₂|=

a2-4b+1

≤1，不滿足．（8分）
②當(dāng)

1

4

＞a²-4b＞0時(shí)，由方程x²+ax+b=

1

4

，解得|x₁-x₂|=

a2-4b+1

∈（1，

5

2

），滿足題意．（11分）
③當(dāng)a²-4b≥

1

4

時(shí)，由方程x²+ax+b=

1

4

，解得|x₁-x₂|=

a2-4b+1

∈[

5

2

，+∞）；由方程x²+ax+b=-

1

4

，解得滿足題意x_3，4=

-a± a2-4b-1

2

，
故|x₁-x₃|=

1

2

（

a2-4b+1

-

a2-4b-1

）=

1

a2-4b+1 + a2-4b-1

＜1；
所以只|x₃-x₄|=

a2-4b-1

≤1即可，此時(shí)a²-4b≤2，
綜上所述，判別式△=a²-4b的取值范圍為[0，2]．
故答案為：[0，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)學(xué)上的分類(lèi)討論思想．分類(lèi)討論目的是，分解問(wèn)題難度，化整為零，各個(gè)擊破．