Question

已知函數f（x）的導函數f′（x）是二次函數，且f′（x）=0的兩根為0和2，若函數f（x）在開區(qū)間（2m-3，

m2+2

2

）上存在最大值和最小值，則實數m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：由函數f（x）在開區(qū)間（2m-3，

m2+2

2

）上存在最大值和最小值，得

2m-3＜0 m2+2 2 ＞2

，由此能求出實數m的取值范圍．

解答： 解：∵函數f（x）的導函數f′（x）是二次函數，
且f′（x）=0的兩根為0和2，
∴f′（x）=ax（x-2）=ax²-2ax，
∴f（x）=

1

3

ax3-ax²+c，
∵函數f（x）在開區(qū)間（2m-3，

m2+2

2

）上存在最大值和最小值，
∴

2m-3＜0 m2+2 2 ＞2

，解得

2

＜m＜

3

2

，
∴實數m的取值范圍為（

2

，

3

2

）．
故答案為：（

2

，

3

2

）．

點評：本題主要考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．