Question

設(shè)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，且滿足f（x-1）=-f（x），則方程f（x）=0在區(qū)間[-2，2]內(nèi)至少有（　　）個(gè)解．

• A、3
• B、4
• C、5
• D、9

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，可得f（x-1）=f（1-x），f（1-x）+f（x）=0．因此f（x）的圖象關(guān)于(

1

2

，0)中心對(duì)稱，關(guān)于(-

1

2

，0)也中心對(duì)稱．即可得出f(

1

2

)=0=f(-

1

2

).f(

3

2

)=-f(

3

2

-1)=-f(

1

2

)=0=f(-

3

2

)．

解答： 解：∵f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，
∴f（x-1）=f（1-x），其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
∵f（x-1）=-f（x），∴f（1-x）+f（x）=0．
∴f（x）的圖象關(guān)于(

1

2

，0)中心對(duì)稱，關(guān)于(-

1

2

，0)也中心對(duì)稱．
∵f(

1

2

-1)=f(-

1

2

)=f(

1

2

)=-f(

1

2

)，
∴f(

1

2

)=0，
∴f(-

1

2

)=0．
∴f(

3

2

)=-f(

3

2

-1)=-f(

1

2

)=0=f(-

3

2

)．
因此方程f（x）=0在區(qū)間[-2，2]內(nèi)至少有4個(gè)解．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、中心對(duì)稱，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．