Question

對于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x，滿足f（-x）=-f（x），則稱為f（x）為“局部奇函數(shù)”．
（1）已知二次函數(shù)f（x）=ax²+2x-4a（a∈R），試判斷f（x）是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由；
（2）若函數(shù)g（x）=

log2(x2-2ax+2a2) x≥2 -3 x＜2

，為其定義域上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若f（x）為“局部奇函數(shù)”，則根據(jù)定義驗證條件是否成立即可；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為方程x²-2ax+2a²-8=0有解，結(jié)合根的判別式大于0，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）若f（x）為“局部奇函數(shù)”等價于關(guān)于x的方程f（-x）+f（x）=0有解．
當(dāng)f（x）=ax²+2x-4a時，
由f（-x）+f（x）=0得2a（x²-4）=0
解得x=±2，
所以方程f（-x）+f（x）=0有解，
因此f（x）為“局部奇函數(shù)”． 
（2）由題意得：

log	(x2-2ax+2a2) 2

=3，
∴x²-2ax+2a²-8=0，
∴△=4a²-4（2a²-8）≥0，
解得：-2

2

≤a≤2

2

．

點評：題主要考查與函數(shù)奇偶性有關(guān)的新定義，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力．