Question

【題目】已知拋物線C: ，點.

（1）求點P與拋物線C的焦點F的距離；

（2）設(shè)斜率為l的直線l與拋物線C交于A，B兩點若△PAB的面積為，求直線l的方程；

（3）是否存在定圓M: ，使得過曲線C上任意一點Q作圓M的兩條切線，與曲線C交于另外兩點A，B時，總有直線AB也與圓M相切？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）P（1，0），距離為5；（2）y＝x﹣1；（3）Q，存在實數(shù)m＝3，使得直線AB與圓M相切．

【解析】

（1）求得拋物線的焦點坐標(biāo)，由兩點距離公式，計算可得所求距離；

（2）設(shè)直線l的方程為y＝x+a，代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式以及三角形的面積公式，解方程可得a，進(jìn)而得到直線方程；

（3）取Q（0，0），切線為y＝kx，求得切點A，B，和直線AB，由相切可得m＝3，證明對任意的動點Q，直線AB與圓相切，必有m＝3．設(shè)Q（a2，a），l：x＝t（y﹣a）a2，A（y12，y1），B（y22，y2），運(yùn)用直線和圓相切的條件和韋達(dá)定理，求得AB的方程，計算圓心到直線AB的距離，即可得證．

（1）拋物線C：y2＝4x的焦點坐標(biāo)為（1，0），

則點P與拋物線C的焦點F的距離為5；

（2）設(shè)直線l的方程為y＝x+a，

把y＝x+a方程代入拋物線y2＝4x，

可得x2+2（a﹣2）x+a2＝0，

∴x1+x2＝4﹣2a，x1x2＝a2，

∴|AB||x1﹣x2|

4，

點P到直線的距離d，

∴S△PAB|AB|d

42，

解得a＝﹣1，

∴直線l的方程y＝x﹣1；

（3）取Q（0，0），圓（x﹣m）2+y2＝4，切線為y＝kx，

由2，解得k2，①

將直線y＝kx代入拋物線方程y2＝4x，

解得A（，），B（，），

直線AB的方程為x，

若直線和圓相切，可得|m|＝2②

由①②解得m＝3或2（舍去）．

綜上可得，對任意的動點Q，直線AB與圓相切，必有m＝3．

下證m＝3時，對任意的動點Q，直線AB和圓相切．

理由如下：設(shè)Q（a2，a），l：x＝t（y﹣a）a2，A（y12，y1），B（y22，y2），

由2，可得（a2﹣4）t2﹣（a2﹣6）at+（a2﹣3）2﹣4＝0，

∴t1+t2，t1t2，

又直線與曲線相交于A，B，

由x＝t（y﹣a）a2，代入拋物線方程可得y2﹣4ty+4ta﹣a2＝0，

可得y12＝4t1（y1﹣a）+a2，y22＝4t2（y2﹣a）+a2，

則a，y1是方程y2＝4t1（y﹣a）+a2的兩根，

即有ay1＝4t1a﹣a2，即為y1＝4t1﹣a，同理y2＝4t2﹣a．

則有A（（4t1﹣a）2，4t1﹣a），B（（4t2﹣a）2，4t2﹣a），

直線AB：y﹣（4t1﹣a）（x（4t1﹣a）2），

即為y﹣（4t1﹣a）（x（4t1﹣a）2），

則圓心（3，0）到直線AB的距離為

d，

由（a2﹣4）t12﹣（a2﹣6）at1+（a2﹣3）2﹣4＝0，

代入上式，化簡可得d2，

則有對任意的動點Q，存在實數(shù)m＝3，使得直線AB與圓M相切．