Question

已知函數(shù)f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最小值與最大值．
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象按向量

d

平移，使平移后得到的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱，求長度最小的

d

．

Answer 1

（1）f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1=2cos²x-2cosxsinx+1=cos2x-sin2x+2=2+

2

sin(2x+

3π

4

)．（2分）
因此，函數(shù)f（x）的最小正周期為π．（4分）
（2）因?yàn)?span dealflag="1" mathtag="math" >f(x)=2+

2

sin(2x+

3π

4

)在區(qū)間[

π

8

，

3π

8

]上是減函數(shù)，在區(qū)間[

3π

8

，

3π

4

]上是增函數(shù)，
又f(

π

8

)=2，f(

3π

8

)=2-

2

，f(

3π

4

)=3．（8分）
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最大值為3，最小值為2-

2

．（10分）
（3）設(shè)平移后的圖象的函數(shù)解析式為y=g（x），因?yàn)間（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，所以g(x)=

2

sin(2x+kπ)(k∈Z)，所以

d

=(-

kπ

2

+

3π

8

，-2)，（12分）
為使

d

的模最小，則取k=1，此時

d

=(-

π

8

，-2)．（14分）