Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中點，M是CE的中點，N點在PB上，且4PN=PB．
（Ⅰ）證明：平面PCE⊥平面PAB；
（Ⅱ）證明：MN∥平面PAC．

Answer 1

【答案】證明：（I）∵AB⊥平面PAC，PC平面PAC，
∴AB⊥PC，
∵∠APC=90°，∴AP⊥PC，
又∵AP平面PAB，AB平面PAB，AP∩AB=A，
∴PC⊥平面PAB，∵PC平面PCE，
∴平面PCE⊥平面PAB．
（II）取AE中點Q，連結(jié)NQ，MQ，
∵M是CE中點，∴MQ∥AC，
∵PB=4PN，AB=4AQ，
∴QN∥AP，
又∵AP∩PC=P，AP平面APC，PC平面APC，QN∩QM=Q，QN平面MNQ，QM平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PAC，
∵MN平面MNQ，
∴MN∥平面PAC．

【解析】（I）由AB⊥平面PAC可得AB⊥PC，再結(jié)合AP⊥PC得出PC⊥平面PAB，故而平面PCE⊥平面PAB；
（II）取AE中點Q，連結(jié)NQ，MQ，則可證明平面MNQ∥平面PAC，故而MN∥平面PAC．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直)．