Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且na_n+1=（n+1）a_n（n∈N^*）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（n）=

1

n+a1

+

1

n+a2

+

1

n+a3

+…+

1

n+an

（n∈N，n≥2）求函數(shù)f（n）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意a₁=1，且na_n+1=（n+1）a_n，兩邊同除以n（n+1）即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而求解；
（2）觀察f（n+1）與f（n）之間的關(guān)系，證明f（n）為單調(diào)增的，即可求解；

解答：解：（1）由na_n+1=（n+1）a_n（n∈N^*）．
∴

an+1

n+1

=

an

n

，
∴{

an

n

}為常數(shù)列，∵a₁=1，∴a_n=n（n∈N^*）．
（2）∵f（n）=

1

n+1

+

2

n+2

+…+

1

2n

，
∴f（n+1）=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，
∴f（n+1）-f（n）=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0，
∴f（n）是遞增的，∴f（n）的最小值為f（2）=

7

12

．

點(diǎn)評：此題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用即數(shù)列的單調(diào)性問題，利用數(shù)列的單調(diào)性求最值是一種比較新穎的方法，大家要注意；