Question

【題目】【2018屆天津市耀華中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，且離心率.

（1）求該橢圓的方程；

（2）若與是該橢圓上不同的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線上，試證： 軸上存在定點(diǎn)，對(duì)于所有滿足條件的與，恒有；

（3）在（2）的條件下， 能否為等腰直角三角形？并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

【解析】試題分析： 利用橢圓的性質(zhì)，離心率計(jì)算公式及即可求出；

⑵分直線的斜率存在與不存在兩種情況： 斜率存在時(shí)，設(shè)出其方程，與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于斜率的方程式，從而得到坐標(biāo)間的關(guān)系式。假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，對(duì)于所有滿足條件的，恒有，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，即證命題存在；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易知成立，命題得證；

⑶分類討論，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離關(guān)系及其根與系數(shù)的關(guān)系即可得到滿足條件的直線斜率存在即可；

解析：（1）∵橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，∴，

又，∴，

∴該橢圓的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

，

，

設(shè)，則， ，

∵弦的中點(diǎn)在直線上，∴ ，

∴ ，∴，

將代入得，

假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)， ，

∴ ，

∴ ，即，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線垂直于軸，此時(shí)顯然成立，綜上， 軸上存在定點(diǎn).

（3）假設(shè)能為等腰直角三角形，則，

∴，

，

，

又，

∴ ，

，符合（*），

∴在（2）的條件下， 能為等腰直角三角形.