Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前N項(xiàng)和為S_n，且滿(mǎn)足S₁=2，S_n+1=3S_n+2（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{S_n+1}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅲ）若數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證明數(shù)列{S_n+1}為等比數(shù)列，只要證明 為常數(shù)即可
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，利用a₁=S₁，當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1可求
（Ⅲ）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求，利用錯(cuò)位相減可求數(shù)列的和
解答：證明：（Ⅰ）因?yàn)?nbsp;S_n+1=3S_n+2，
所以 =3．
又∵S₁+1=3
所以數(shù)列 {1+S_n}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2．
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1）
=2×3^n-1
故．
（Ⅲ）因?yàn)?nbsp;數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得 =1+2（n-1）=2n-1
所以 ．
所以
   3T_n=2[1•3+3•3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ]．
兩式相減可得，-2T_n=2[1+2×3+2×3²+…+2×3^n-1-（2n-1）•3ⁿ]
∴T_n=1+2×3×
∴
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解中的應(yīng)用，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解及錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用．