Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+3
（1）證明{a_n+3}是等比數(shù)列
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）給出了數(shù)列的首項(xiàng)及遞推式，求解通項(xiàng)公式時(shí)，首先把遞推式變形，變?yōu)槲覀兪煜さ牡缺葦?shù)列，
（2）由（1）可以求出通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：．∵a_n+1=2a_n+3，
∴a_n+1+3=2（a_n+3），
∴a₁+3=1+3=4，
∴{a_n+3}是以4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）可得an+3=4•2n-1，
∴a₁+3=4，a₂+3=4•2，a₃+3=4×2²，
累加法，得
∴a₁+3+a₂+3+a₃+3+…+an+3=4•2n-1，
∴s_n+3n=2ⁿ⁺²-4，
∴Sn=2n+2-3n-4

點(diǎn)評(píng)：本題考查了給出遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，對(duì)于a_n+1=pa_n+q型的遞推式，一般能夠造成{a_n+x}型的等比數(shù)列，屬常見題．