Question

【題目】設(shè)函數(shù)。

（1）若在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值為15，求在區(qū)間上的最小值。

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在上存在函數(shù)值小于零的區(qū)間，列出不等式求解a的范圍即可．

（2）判斷導(dǎo)函數(shù)的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，利用函數(shù)f（x）的上單調(diào)性，求出a，然后求解最小值．

解：（1）函數(shù)，a∈R．

可得．

由條件f（x）在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，知導(dǎo)函數(shù)在上存在函數(shù)值小于零的區(qū)間，

只需 ，解得 ，

故a的取值范圍為．

（2）的圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸x＝﹣1，

f′（0）＝a＜0，f′（3）＝9+6+a＝15+a＞0，

所以必存在一點(diǎn)x0∈（0，3），使得f′（x0）＝0，

此時(shí)函數(shù)f（x）在[0，x0]上單調(diào)遞減，

在[x0，3]單調(diào)遞增，又由于f（0）＝0，f（3）＝9+9+a＝18+3a＞0＝f（0）

所以f（3）＝18+3a＝15，即a＝﹣1，此時(shí)，

由 ，

所以函數(shù) ．