Question

已知函數(shù)f（x）=2^x，x∈R．
（Ⅰ）解方程：f（2x）-f（x+1）=8；
（Ⅱ）設(shè)a∈R，求函數(shù)g（x）=f（x）+a•4^x在區(qū)間[0，1]上的最大值M（a）的表達(dá)式；
（Ⅲ）若f（x₁）+f（x₂）=f（x₁）f（x₂），f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）=f（x₁）f（x₂）f（x₃），求x₃的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）所給的方程即 （2^x）²-2•2^x-8=0，可得2^x=4或2^x=-2（舍去），從而求得x的值．
（Ⅱ）由于 g（x）=2^x+a•4^x，x∈[0，1]，令t=2^x，則t∈[1，2]，分①當(dāng)a=0和②當(dāng)a≠0兩種情況，
分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得M（a）的解析式，綜合可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）所給的方程即 （2^x）²-2•2^x-8=0，可得2^x=4或2^x=-2（舍去），
所以x=2．
（Ⅱ）由于 g（x）=2^x+a•4^x，x∈[0，1]，令t=2^x，則t∈[1，2]，
①當(dāng)a=0時(shí)，M（a）=2；
②當(dāng)a≠0時(shí)，令 h(t)=at2+t=a(t+

1

2a

)2-

1

4a

，
若a＞0，則M（a）=h（2）=4a+2，
若a＜0，當(dāng)0＜-

1

2a

＜1，即a＜-

1

2

時(shí)，M（a）=h（1）=a+1，
當(dāng)-

1

2a

＞2，即-

1

4

＜a＜0時(shí)，M（a）=h（2）=4a+2，
當(dāng)1≤-

1

2a

≤2，即-

1

2

≤a≤-

1

4

時(shí)，M(a)=h(-

1

2a

)=-

1

4a

，
綜上，M(a)=

4a+2，a＞- 1 4 a+1，a＜- 1 2 - 1 4a ，- 1 2 ≤a≤- 1 4

．

（Ⅲ）由題意知：

2x1+2x2=2x1+x2 2x1+2x2+2x3=2x1+x2+x3

，化簡(jiǎn)可得2x1+x2+2x3=2x1+x2•2x3，
所以2x3=

2x1+x2

2x1+x2-1

=

t

t-1

，
其中t=2x1+x2=2x1+2x2≥2

2x1+x2

=2

t

，所以t≥4，
由2x3=

t

t-1

=

1

1- 1 t

知2x3的最大值是

4

3

，又y=2^x單調(diào)遞增，
所以x3=log2

4

3

=2-log23．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．