Question

（2010•北京模擬）定義函數(shù)y=f（x）：對(duì)于任意整數(shù)m，當(dāng)實(shí)數(shù)x∈(m-

1

2

，m+

1

2

)時(shí)，有f（x）=m．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，畫(huà)出函數(shù)f（x）在x∈D∩[0，4]上的圖象；
（Ⅱ）若數(shù)列an=2+10(

2

5

)n（n∈N^*），記S_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求S_n；
（Ⅲ）若等比數(shù)列b_n的首項(xiàng)是b₁=1，公比為q（q＞0），又f（b₁）+f（b₂）+f（b₃）=4，求公比q的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)y=f（x）的定義，求出函數(shù)在區(qū)間[0，4]上的解析式，即可畫(huà)出函數(shù)的圖象；
（Ⅱ）根據(jù)an=2+10(

2

5

)n，可知2＜a_n＜6，求出f（a_n），在求和即可；
（Ⅲ）由f（b₁）+f（b₂）+f（b₃）=4，且b₁=1，得f（q）+f（q²）=3，分類討論即可求得結(jié)果．

解答：解：（I）當(dāng)x∈[0，

1

2

）時(shí)，f（x）=0，
當(dāng)x∈[

1

2

，

3

2

）時(shí)，f（x）=1，
當(dāng)x∈[

3

2

，

5

2

）時(shí)，f（x）=2，
當(dāng)x∈[

5

2

，

7

2

）時(shí)，f（x）=3，
當(dāng)x∈[

5

2

，4]時(shí)，f（x）=4，
∴圖象如圖所示，
（II）由于an=2+10•(

2

5

)n，所以f(an)=

6，n=1 4，n=2 3，n=3 2，n≥4

，
因此Sn=

6，n=1 10，n=2 2n+7，n≥3

；
（III）由f（b₁）+f（b₂）+f（b₃）=4，且b₁=1，得f（q）+f（q²）=3，
當(dāng)0＜q≤1時(shí)，則q²≤q≤1，
所以f（q²）≤f（q）≤f（1）=1，
則f（q）+f（q²）≤2＜3，不合題意；
當(dāng)q＞1時(shí)，則q²＞q＞1，
所以f（q²）≥f（q）≥f（1）=1．
又f（q）+f（q²）=3，
∴只可能是

f(q)=1 f(q2)=2

，即

1 2 ＜q＜ 3 2 3 2 ＜q2＜ 5 2

，
解之得

6

2

＜q＜

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題以新定義為載體，考查分段函數(shù)的解析式的求法和圖象的畫(huà)法，以及數(shù)列求和問(wèn)題，考查利用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力，讀懂題意是解題的關(guān)鍵，屬難題．