Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象經過點（0，0），其導函數(shù)f′（x）=2x-5，當x∈（n+2，n+3]（n∈N^*）時，函數(shù)f（x）值域中整數(shù)值的個數(shù)記為a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令bn=(

2

)an+

4

a2n-1a2n+1

(n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設f（x）=ax²+bx，由其導函數(shù)f′（x）=2x-5，得f（x）=x²-5x，由此能求出a_n=f（n+3）-f（n+2）=2n．
（Ⅱ）bn=(

2

)an+

4

a2n-1a2n+1

(n∈N*)=2n+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用公組求和法和裂項求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）設f（x）=ax²+bx，
由其導函數(shù)f′（x）=2ax+b=2x-5，得a=1，b=-5，
∴f（x）=x²-5x，
當x∈（n+2，n+3），n∈n^*時，
a_n=f（n+3）-f（n+2）=2n．
（Ⅱ）bn=(

2

)an+

4

a2n-1a2n+1

(n∈N*)
=2n+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ+

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

2(1-2n)

1-2

+

1

2

(1-

1

2n+1

)
=2n+1-

3n+2

2n+1

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．