Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B在拋物線y²=4x上，滿足

OA

•

OB

=-4，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，則S_△OFA•S_△OFB=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)l過(guò)A、B的方程為：x=ty+b代入拋物線y²=4x，消去x，通過(guò)

OA

•

OB

=-4，得到直線恒過(guò)的定點(diǎn)，判斷出A、B的位置，然后求出結(jié)果即可．

解答： 解：設(shè)l過(guò)A、B的方程為：x=ty+b代入拋物線y²=4x，消去x得
y²-4ty-4b=0設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b，
∴

OA

•

OB

=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂
=t²y₁y₂+bt（y₁+y₂）+b²+y₁y₂
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0∴b=2．
∴直線l過(guò)定點(diǎn)（2，0）．
當(dāng)x=2時(shí)，y=±

8

，此時(shí)|y₁y₂|取得最小值8，
∴S_△OFA•S_△OFB=

1

2

×1×

1

2

×1×|y₁y₂|=

1

4

×8=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，三角形的面積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．