Question

【題目】如圖，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB．

（1）求AD1與面BB1D1D所成角的正弦值；
（2）點(diǎn)E在側(cè)棱AA1上，若二面角E﹣BD﹣C1的余弦值為 ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz．

設(shè)AB=1，則D（0，0，0），A（1，0，0），

B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），

A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2）．

設(shè)AD1與面BB1D1D所成角的大小為θ， ，

設(shè)平面BB1D1D的法向量為 =（x，y，z）， ， ，

則 =0， ，即x+y=0，z=0．

令x=1，則y=﹣1，所以n=（1，﹣1，0），

sinθ=|cos＜ ＞|= = ，

所以AD1與平面BB1D1D所成角的正弦值為

（2）解：設(shè)E（1，0，λ），0≤λ≤2．

設(shè)平面EBD的法向量為 =（x1，y1，z1），平面BDC1的法向量為 =（x2，y2，z2）， ，

由 ， ，得x1+y1=0，x1+λz1=0，

令z1=1，則x1=﹣λ，y1=λ，n1=（﹣λ，λ，1）， ，

由 ， ，得x2+y2=0，y2+2z2=0，

令z2=1，則x2=2，y2=﹣2，n2=（2，﹣2，1），

cos＜ ＞= = ，

所以 ，得λ=1．

所以 = ．

【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求AD1與面BB1D1D所成角的正弦值；（2）求出平面的法向量，根據(jù)二面角與平面法向量之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．
【考點(diǎn)精析】掌握空間角的異面直線所成的角是解答本題的根本，需要知道已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．