已知向量
a
=（cosx-3，sinx），
b
=（cosx，sinx-3），f（x）=
a
•
b

（1）若x∈[2π，3π]，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈（-
π
4
，
π
4
），且f（x）=-1，求tan2x的值．
分析：（1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩角和差的正弦公式，化簡(jiǎn)f（x）的解析式為1-3
2
sin（x+
π
4
），由
2kπ-
π
2
≤x+
π
4
≤2kπ+
π
2
，k∈z，解得x的范圍即得單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由f（x）=-1 解得sin（x+
π
4
）=
2
3
，由x的范圍可求得cos（x+
π
4
）的值，由tan2x=
sin2x
cos2x
=
-cos2(x+
π
4
)
sin2(x+
π
4
)
，
使用二倍角公式求得結(jié)果．
解答：解：（1）f（x）=
a
•
b
=cosx（cosx-3）+sinx（sinx-3）=1-3
2
sin（x+
π
4
），由 2kπ-
π
2
≤x+
π
4
≤2kπ+
π
2
，k∈z，
可得   2kπ-
3π
4
≤x≤2kπ+
π
4
，再由 2π≤x≤3π 可得，2π≤x≤
9π
4
，
故單調(diào)遞增區(qū)間是[2π，
9π
4
]．
（2）由f（x）=-1 可得 1-3
2
sin（x+
π
4
）=-1，可得sin（x+
π
4
）=
2
3
，∵x∈（-
π
4
，
π
4
），
∴0＜x+
π
4
＜
π
2
，∴cos（x+
π
4
）=
7
3
，tan2x=
sin2x
cos2x
=
-cos2(x+
π
4
)
sin2(x+
π
4
)
=
-[1-2sin2(x+
π
4
)]
2sin(x+
π
4
)cos(x+
π
4
)

=
-[1-2×
2
9
]
2×
2
3
×
7
3
=
-5
14
28
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩角和差的正弦公式，二倍角公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意角的范圍．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（cosα，1），
b
=（-2，sinα），α∈(π，
3π
2
)，且
a
⊥
b

（1）求sinα的值；
（2）求tan(α+
π
4
)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（cos（-θ），sin（-θ）），
b
=(cos(
π
2
-θ)，sin(
π
2
-θ))．
（1）求證：
a
⊥
b
．
（2）若存在不等于0的實(shí)數(shù)k和t，使
x
=
a
+（t2+3）
b
，
y
=（-k
a
+t
b
），滿足
x
⊥
y
，試求此時(shí)
k+t2
t
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量
b
=（
3
，1），b=(
3
，1)，
a
∥
b
，則θ=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（sinβ，-cosβ），則|
a
+
b
|最大值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（cosθ，sinθ），向量
b
=（2
2
，-1），則|3
a
-
b
|的最大值是
 
．

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