Question

已知函數(shù)f（x）=2x²+（x-a）²．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，解不等式f（log₂x）＞f（3）；
（Ⅱ）若f（x）在[0，1]上有最小值9，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求得f（x）和f（3），代入不等式可得：log22x＞9，即log₂x＞3或log₂x＜-3．由此求得不等式的解集．
（Ⅱ）f（x）=3x²-2ax+a²，對(duì)稱軸為x=

a

3

，再分①當(dāng)

a

3

≤0時(shí)、②當(dāng)0＜

a

3

＜1時(shí)、③當(dāng)

a

3

≥1時(shí)，分別利用函數(shù)的單調(diào)性求得a的值，綜合可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，可得f（x）=3x²，f（3）=27，代入不等式可得：log22x＞9，
即log₂x＞3或log₂x＜-3．
解得：x＞8，或0＜x＜

1

8

，
所以解集為 {x|x＞8，或0＜x＜

1

8

 }．
（Ⅱ）f（x）=3x²-2ax+a²，對(duì)稱軸為x=

a

3

，
①當(dāng)

a

3

≤0時(shí)，即a≤0，f(x)min=f(0)=a2=9，
解得a=-3，或a=3（舍去）．
②當(dāng)0＜

a

3

＜1時(shí)，即0＜a＜3，f(x)min=f(

a

3

)=

2

3

a2=9，
解得a=±

3 6

2

（舍），
③當(dāng)

a

3

≥1時(shí)，即a≥3，f(x)min=f(1)=3-2a+a2=9，
解得a=1+

7

，或a=1-

7

（舍去）   
 綜上：a=-3，或a=1+

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．