Question

【題目】已知圓圓心坐標為點為坐標原點，軸、軸被圓截得的弦分別為、.

（1）證明：的面積為定值；

（2）設直線與圓交于兩點，若，求圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）利用幾何條件可知，為直角三角形，且圓過原點，所以得知三角形兩直角邊邊長，求得面積；

（2）由及原點O在圓上，知OCMN，所以 ,求出 的值，再利用直線與圓的位置關(guān)系判斷檢驗，符合題意的解，最后寫出圓的方程。

（1）因為軸、軸被圓截得的弦分別為、，

所以經(jīng)過，又為中點，所以，所以

，所以的面積為定值.

（2）因為直線與圓交于兩點，，

所以的中垂線經(jīng)過，且過，所以的方程，

所以，所以當時，有圓心，半徑，

所以圓心到直線的距離為，

所以直線與圓交于點兩點，故成立；

當時，有圓心，半徑，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓不相交，故（舍去），

綜上所述，圓的方程為.