Question

已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx-2

3

sin²ωx+

3

（ω＞0），直線x=x₁，x=x₂是函數(shù)y=f（x）的圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為

π

2

．
（I）求ω的值；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（III）若f（a）=

2

3

，求sin（

5

6

π-4a）的值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式即輔助角公式，化簡函數(shù)，利用直線x=x₁，x=x₂是函數(shù)y=f（x）的圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為

π

2

，可得函數(shù)的最小正周期為π，根據(jù)周期公式，可求ω的值；
（II）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（III）由f（a）=

2

3

，可得sin（2a+

π

3

）=

1

3

，根據(jù)sin（

5

6

π-4a）=sin[

3π

2

-2（2a+

π

3

）]=-cos[2（2a+

π

3

）]=2sin²（2a+

π

3

）-1，即可求得結(jié)論．

解答：解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx-2

3

sin²ωx+

3

=sin2ωx+

3

cos2ωx=2sin（2ωx+

π

3

）
∵直線x=x₁，x=x₂是函數(shù)y=f（x）的圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為

π

2

，
∴函數(shù)的最小正周期為π
∴

2π

2ω

=π
∴ω=1；
（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+

π

3

）
∴-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
∴-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z；
（III）∵f（a）=

2

3

，∴sin（2a+

π

3

）=

1

3

∴sin（

5

6

π-4a）=sin[

3π

2

-2（2a+

π

3

）]=-cos[2（2a+

π

3

）]=2sin²（2a+

π

3

）-1=-

7

9

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的周期性，考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，周期確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．