Question

A是由定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數(shù)φ（x）組成的集合：
（1）對任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常數(shù)L（0＜L＜1），使得對任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|．
（Ⅰ）設(shè)φ（x）=，x∈[1，2]，證明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）設(shè)φ（x）∈A，如果存在x∈（1，2），使得x=φ（2x），那么這樣的x是唯一的．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)φ（2x）=單調(diào)增的性質(zhì)，得x∈[1，2]時1＜≤φ（2x）≤＜2，從而得到φ（2x）∈（1，2）；再根據(jù)分子有理化，整理得|φ（2x₁）-φ（2x₂）|=|x₁-x₂|•，從而令=L，得0＜L＜1滿足|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|．由以上兩條可得φ（x）∈A成立；
（II）反證法，假設(shè)滿足條件的x不是唯一的，則存在兩個x、∈（1，2）且x≠，使得x=φ（2x），=φ（2），根據(jù)（I）的結(jié)論進行推理得到|x-|≤L|x₁-x₂|，所以L≥1與定義0＜L＜1矛盾，從而說明假設(shè)不成立，可得滿足x∈（1，2）且x=φ（2x）的x是唯一的．
解答：解：（Ⅰ）對任意x∈[1，2]，φ（2x）=，
∵≤φ（2x）≤，且1＜＜＜2，
∴φ（2x）∈（1，2）滿足（1）的條件；
對任意的x₁，x₂∈[1，2]，|φ（2x₁）-φ（2x₂）|
=|x₁-x₂|•，
∵3＜++，
所以0＜，
令=L，則0＜L＜1，
可得|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|，滿足（2）的條件
所以φ（x）∈A成立．…（8分）
（Ⅱ）反證法：
設(shè)存在兩個x、∈（1，2）且x≠，使得x=φ（2x），=φ（2），則
由（I）的結(jié)論，得|φ（2x）-φ（2）|≤L|x₁-x₂|，
得|x-|≤L|x₁-x₂|，所以L≥1，與定義0＜L＜1矛盾，故假設(shè)不成立，
可得不存在兩個x、∈（1，2）且x≠，使得x=φ（2x），=φ（2），
因此如果存在x∈（1，2），使得x=φ（2x），那么這樣的x是唯一的．…（13分）
點評：本題給出滿足特殊對應(yīng)法則，要求我們判斷φ（x）滿足此對應(yīng)法則，且對滿足條件的函數(shù)中若x=φ（2x）的x唯一性加以討論．著重考查了不等式的性質(zhì)、反證法的證明思想和函數(shù)恒成立的討論等知識，屬于中檔題．