(2013•延慶縣一模)A是由定義在[2,4]上且滿足如下條件的函數(shù)φ(x)組成的集合:
(1)對(duì)任意x∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2);
(2)存在常數(shù)L(0<L<1),使得對(duì)任意的x1,x2∈[1,2],都有|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|.
(Ⅰ)設(shè)φ(x)=
31+x
,x∈[1,2],證明:φ(x)∈A;
(Ⅱ)設(shè)φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么這樣的x0是唯一的.
分析:(I)根據(jù)φ(2x)=
31+2x
單調(diào)增的性質(zhì),得x∈[1,2]時(shí)1<
33
≤φ(2x)≤
35
<2,從而得到φ(2x)∈(1,2);再根據(jù)分子有理化,整理得|φ(2x1)-φ(2x2)|=|x1-x2|•
2
3(1+2x1)2
+
3(1+2x1)(1+2x1)
+
3(1+2x2)2
,從而令
2
3(1+2x1)2
+
3(1+2x1)(1+2x1)
+
3(1+2x2)2
=L,得0<L<1滿足|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|.由以上兩條可得φ(x)∈A成立;
(II)反證法,假設(shè)滿足條件的x0不是唯一的,則存在兩個(gè)x0、x0/∈(1,2)且x0x0/,使得x0=φ(2x0),x0/=φ(2x0/),根據(jù)(I)的結(jié)論進(jìn)行推理得到|x0-x0/|≤L|x1-x2|,所以L≥1與定義0<L<1矛盾,從而說明假設(shè)不成立,可得滿足x0∈(1,2)且x0=φ(2x0)的x0是唯一的.
解答:解:(Ⅰ)對(duì)任意x∈[1,2],φ(2x)=
31+2x
,
33
≤φ(2x)≤
35
,且1<
33
35
<2,
∴φ(2x)∈(1,2)滿足(1)的條件;
對(duì)任意的x1,x2∈[1,2],|φ(2x1)-φ(2x2)|
=|x1-x2|•
2
3(1+2x1)2
+
3(1+2x1)(1+2x1)
+
3(1+2x2)2
,
∵3<
3(1+2x1)2
+
3(1+2x1)(1+2x2)
+
3(1+2x2)2
,
所以0<
2
3(1+2x1)2
+
3(1+2x1)(1+2x1)
+
3(1+2x2)2
2
3

2
3(1+2x1)2
+
3(1+2x1)(1+2x1)
+
3(1+2x2)2
=L,則0<L<1,
可得|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|,滿足(2)的條件
所以φ(x)∈A成立.…(8分)
(Ⅱ)反證法:
設(shè)存在兩個(gè)x0、x0/∈(1,2)且x0x0/,使得x0=φ(2x0),x0/=φ(2x0/),則
由(I)的結(jié)論,得|φ(2x0)-φ(2x0/)|≤L|x1-x2|,
得|x0-x0/|≤L|x1-x2|,所以L≥1,與定義0<L<1矛盾,故假設(shè)不成立,
可得不存在兩個(gè)x0、x0/∈(1,2)且x0x0/,使得x0=φ(2x0),x0/=φ(2x0/),
因此如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么這樣的x0是唯一的.…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題給出滿足特殊對(duì)應(yīng)法則,要求我們判斷φ(x)滿足此對(duì)應(yīng)法則,且對(duì)滿足條件的函數(shù)中若x0=φ(2x0)的x0唯一性加以討論.著重考查了不等式的性質(zhì)、反證法的證明思想和函數(shù)恒成立的討論等知識(shí),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•延慶縣一模)空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5(單位:μg/m3)表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量,這個(gè)值越高,就代表空氣污染越嚴(yán)重:
PM2.5
日均濃度
0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 >250
空氣質(zhì)量級(jí)別 一級(jí) 二級(jí) 三級(jí) 四級(jí) 五級(jí) 六級(jí)
空氣質(zhì)量類型 優(yōu) 輕度污染 中度污染 重度污染 嚴(yán)重污染
甲、乙兩城市2013年2月份中的15天對(duì)空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5進(jìn)行監(jiān)測(cè),獲得PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示:
(Ⅰ)根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)估計(jì)甲、乙兩城市15天內(nèi)哪個(gè)城市空氣質(zhì)量總體較好?(注:不需說明理由)
(Ⅱ)在15天內(nèi)任取1天,估計(jì)甲、乙兩城市空氣質(zhì)量類別均為優(yōu)或良的概率;
(Ⅲ)在乙城市15個(gè)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中任取2個(gè),設(shè)X為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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(2013•延慶縣一模)已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的離心率為2,一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=16x的焦點(diǎn)相同,則雙曲線的漸近線方程為(  )

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(2013•延慶縣一模)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-2(a≠0)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,則( 。

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(2013•延慶縣一模)已知函數(shù)f(x)=
log4x, x>0
3x, x≤0
,則f[f(
1
16
)]
=( 。

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(2013•延慶縣一模)如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形,∠ABC=60°,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E為PA的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:PC∥平面EBD;
(Ⅱ)求三棱錐C-PAD的體積VC-PAD;
(Ⅲ)在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)M,滿足PC⊥平面MBD,若存在,求PM的長(zhǎng);若不存在,說明理由.

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