Question

已知橢圓右頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的距離為，短軸長為．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過左焦點(diǎn)F的直線與橢圓分別交于A、B兩點(diǎn)，若三角形OAB的面積為，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓右頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的距離為，短軸長為，可得，由此，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，，此時(shí)不符合題意；當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線 AB的方程為：y=k（x+1），代入消去y得，進(jìn)而可求三角形的面積，利用，即可求出直線AB的方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意，，解得．
即橢圓方程為
（Ⅱ）當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，，此時(shí)不符合題意，故舍掉；
當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線 AB的方程為：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，所以 ．
原點(diǎn)到直線的AB距離，
所以三角形的面積．
由可得k²=2，∴，
所以直線或．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理確定三角形的面積是關(guān)鍵．