Question

【題目】已知，當(dāng)時(shí)，.

（Ⅰ）若函數(shù)過點(diǎn)，求此時(shí)函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅲ）設(shè)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)在上的最大值與最小值的差不大于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）

【解析】

試題（Ⅰ）將點(diǎn) 代入可得函數(shù)的解析式；（Ⅱ）函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，即 ，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算后可得 ，將問題轉(zhuǎn)化為方程有一個(gè)實(shí)根，分 和 兩種情況，得到 值，最后再代入驗(yàn)證函數(shù)的定義域；（Ⅲ）首先根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的最大值減最小值 整理為 ，對(duì)任意 恒成立， 時(shí)，區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以只需最小值大于等于0，求解 的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)過點(diǎn)，

， ，

此時(shí)函數(shù)

（Ⅱ）由得，

化為，

當(dāng)時(shí)，可得，

經(jīng)過驗(yàn)證滿足函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，令解得，可得，

經(jīng)過驗(yàn)證滿足函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上可得：或.

（Ⅲ）任取且，則，

，即，

在上單調(diào)遞減.

函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，

，

整理得對(duì)任意恒成立，

令，

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，即，解得，

故實(shí)數(shù)的取值范圍為.