Question

設(shè)函數(shù)f（x）=丨x+1丨+丨x-2丨-m．
（Ⅰ）當(dāng)m=5時(shí)，求f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)m=5時(shí)，把不等式轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求得美俄不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由題意可得丨x+1丨+丨x-2丨-m的最小值大于或等于2，由絕對(duì)值三角不等式可得丨x+1丨+丨x-2丨-m的最小值為3，可得3-m≥2，從而求得m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)m=5時(shí)，函數(shù)f（x）=丨x+1丨+丨x-2丨-5，
由f（x）＞0可得

x≥2 x+1+x-2-5＞0

 ①，或  

-1≤x＜2 x+1-x+2-5＞0

，或 ②

x＜-1 -x-1-x+2-5＞0

．
解①求得 x＞3，解②求得x∈∅，解③求得x＜-2．
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥2的解集是R，即 丨x+1丨+丨x-2丨≥2+m 的解集為R．
而丨x+1丨+丨x-2丨≥|（x+1）-（x-2）|=3，
故有 3≥2+m，即 m≤1，
故m的范圍為（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．