(1)已知:a,b,x均是正數(shù),且a<b,求證:
a+x
b+x
a
b
;
(2)證明:△ABC中,
sinA
sinB+sinC
+
sinB
sinC+sinA
+
sinC
sinA+sinB
<2.
考點:不等式的證明,正弦定理
專題:選作題,不等式
分析:(1)充分利用a>b這個條件,作差,結(jié)合不等式的基本性質(zhì)即可證得;
(2)應(yīng)用第(1)小題結(jié)論,取倒數(shù),得
b
a
b+x
a+x
<1
由正弦定理,原題?△ABC中,求證:
a
b+c
+
b
c+a
+
c
a+b
<2利用放縮法進行證明即可.
解答: 證明:(1)
a+x
b+x
-
a
b
=
(b-a)x
b(b+x)
,
∵a,b,x均是正數(shù),且a<b,
(b-a)x
b(b+x)
>0,
a+x
b+x
a
b
;
(2)應(yīng)用第(1)小題結(jié)論,取倒數(shù),得
b
a
b+x
a+x
<1

由正弦定理,原題?△ABC中,求證:
a
b+c
+
b
c+a
+
c
a+b
<2.
a
b+c
2a
a+b+c
,
b
c+a
2b
a+b+c
,
c
a+b
2c
a+b+c

a
b+c
+
b
c+a
+
c
a+b
2a
a+b+c
+
2b
a+b+c
+
2c
a+b+c

a
b+c
+
b
c+a
+
c
a+b
<2,
sinA
sinB+sinC
+
sinB
sinC+sinA
+
sinC
sinA+sinB
<2.
點評:本題主要考查了不等式的證明、放縮法和類比思想,在證明不等式的時候,在直接證明遇到困難的時候,可以利用不等式的傳遞性,把要證明的不等式加強為一個易證的不等式,即欲證A>B,我們可以適當(dāng)?shù)恼乙粋中間量C作為媒介,證明A>C且C>B,從而得到A>B.我們把這種把B放大到C(或把A縮小到C)的方法稱為放縮法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某工廠生產(chǎn)并銷售某高科技產(chǎn)品,已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本是1200(單位:萬元),生產(chǎn)成本c(單位:萬元)與生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)x(單位:萬件)的立方成正比;該產(chǎn)品單價p(單位:元)的平方與生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)x(單位萬件)成反比,現(xiàn)已知生產(chǎn)該產(chǎn)品100萬件時,其單價p=50元,生產(chǎn)成本c=
8
3
×104萬元,且工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品都可以銷售完.設(shè)工廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤f(x)(萬元).(注:利潤=銷售額-固定成本-生產(chǎn)成本)
(1)求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)生產(chǎn)該產(chǎn)品的件數(shù)x(萬件)為多少時,工廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的利潤最大?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

觀察下列不等式:
2
3
2+1
3+1
,
2
3
2+2
3+2
,
2
3
2+3
3+3
2
3
2+4
3+4
,…
照此規(guī)律,寫出第n個不等式,然后判斷這個不等式是否成立并給出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足,a1=1,an>0且an+12=
an2
4an2+1
(n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)數(shù)列{bn}的前n項和Sn滿足:b1=1,
Sn+1
an2
=
Sn
an+12
+16n2-8n-3,求數(shù)列{2nbn}的前n項和An
(3)記Tn=a12+a22+…+an2,若T2n+1-Tn
m
30
對任意n∈N*恒成立,求正整數(shù)m的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

木工技藝是我國傳統(tǒng)文化瑰寶之一,體現(xiàn)了勞動人民的無窮智慧.很多古代建筑和家具不用鐵釘,保存到現(xiàn)代卻依然牢固,這其中,有連接加固功能的“楔子”發(fā)揮了重要作用;如圖,是一個楔子形狀的直觀圖.其底面ABCD為一個矩形,其中AB=6,AD=4.頂部線段EF∥平面ABCD,棱EA=ED=FB=FC=6
2
,EF=2,二面角F-BC-A的余弦值為
17
17
,設(shè)M,N是AD,BC的中點,
(1)證明:BC⊥平面EFNM;
(2)求平面BEF和平面CEF所成銳二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)遞增等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a3=1,a4是a3和a7的等比中項.
(l)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=
1
an2+24n-25
,求數(shù)列{bn}的前100項和T100

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(n∈N*),滿足向量
A1An+1
與向量
BnCn
共線,且點Bn(n,bn)(n∈N*)都在斜率為6的同一條直線上.
(1)試用a1,b1與n來表示an
(2)設(shè)a1=a,b1=-a,且12<a≤15,求數(shù){an}中的最小值的項.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知復(fù)數(shù)z=lg(m2-8m+15)+(m2-9m+18)i在復(fù)平面內(nèi)表示的點為A,實數(shù)m取什么值時,
(1)z為實數(shù)?
(2)z為純虛數(shù)?
(3)A位于第二象限?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

閱讀下表后,請應(yīng)用類比的思想,得出橢圓中的結(jié)論:
              圓          橢圓

平面上到動點P到定點O的距離等于定長的點的軌跡 平面上的動點P到兩定點F1,F(xiàn)2的距離之和等于定值2a的點的軌跡(2a>|F1F2|)
結(jié)
如圖,AB是圓O的直徑,直線AC,BD是圓O過A,B的切線,P是圓O上任意一點,
CD是過P的切線,則有“PO2=PC•PD”
橢圓的長軸為AB,O是橢圓的中心,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓的焦點,直線AC,BD是橢圓過A,B的切線,P是橢圓上任意一點,CD是過P的切線,則有
 

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同步練習(xí)冊答案