Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（

π

3

-2x）
1）用五點(diǎn)法作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；
2）求函數(shù)的周期和單增區(qū)間；
3）若方程f（x）=a在區(qū)間（0，

2π

3

）有兩個(gè)不同的實(shí)根，求a的范圍．

Answer 1

分析：（1）分別令2x-

π

3

=0、

π

2

、π、

3π

2

、2π，可得x=

π

6

、

5π

12

、

2π

3

、

11π

12

、

7π

6

，由此得到函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)圖象上的關(guān)鍵的點(diǎn)，描出這五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)再連成平滑的曲線，即可得到函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的公式與周期公式加以計(jì)算，可得函數(shù)的周期和單增區(qū)間；
（3）研究f（x）區(qū)間（0，

2π

3

）上的單調(diào)性與函數(shù)的取值，可得f（x）在區(qū)間（

π

6

，

2π

3

）上且x≠

5π

12

時(shí)，有兩個(gè)x對應(yīng)一個(gè)函數(shù)值y，由此即可算出滿足條件的實(shí)數(shù)a的范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=2sin（

π

3

-2x）=-2sin（2x-

π

3

）．列出如下表格：

在直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)（

π

6

，0），（

5π

12

，-2），（

2π

3

，0），（

11π

12

，2），（

7π

6

，0）．
將此五個(gè)點(diǎn)連成平滑的曲線，即得函數(shù)f（x）=2sin（

π

3

-2x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，如圖所示；
（2）∵f（x）=2sin（

π

3

-2x）=-2sin（2x-

π

3

）．∴函數(shù)的周期T=

2π

2

=π，
令

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），得

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ（k∈Z），
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]（k∈Z）．
（3）當(dāng)x∈（0，

2π

3

）時(shí)，可得f（x）=2sin（

π

3

-2x）在（0，

5π

12

]上為減函數(shù)，函數(shù)值從

3

減小到-2；
在[

5π

12

，

2π

3

）上為增函數(shù)，函數(shù)值從-2增大到0．（x=0與

2π

3

處的函數(shù)值取不到）
∴函數(shù)f（x）=2sin（

π

3

-2x）在區(qū)間（

π

6

，

2π

3

）上且x≠

5π

12

時(shí)，有兩個(gè)x對應(yīng)一個(gè)函數(shù)值y．
因此，方程f（x）=a在區(qū)間（0，

2π

3

）有兩個(gè)不同的實(shí)根，a的取值范圍為（-2，0）．

點(diǎn)評：本題給出正弦型三角函數(shù)，求它的單調(diào)區(qū)間并作出一個(gè)周期內(nèi)的圖象，討論關(guān)于x的方程解的個(gè)數(shù)，著重考查了三角函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的圖象作法與函數(shù)圖象的變換公式等知識(shí)，屬于中檔題．