Question

對于有下列命題：
①函數(shù)f（x）=|sin2x|的最小正周期是

π

2

②函數(shù)y=sin(

3π

2

+x)是偶函數(shù)
③x=

π

8

是函數(shù)y=sin(2x+

5π

4

)的一條對稱軸
④點(

π

2

，0)是函數(shù)y=tan(x+

π

3

)的圖象的對稱中心
⑤存在實數(shù)α使sinαcosα=1
其中正確命題的個數(shù)是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①求出f（x）=sin2x的周期，由f（x）=sin2x得圖象與f（x）=|sin2x|的圖象的關(guān)系得到
f（x）=|sin2x|的周期為

π

2

；
②利用誘導公式化簡后判斷命題②正確；
③④直接代入x的值，求出y值加以判斷；
⑤由倍角公式化sinαcosα=

1

2

sin2α，得到最大值為

1

2

，命題得到判斷．

解答： 解：對于①，函數(shù)f（x）=sin2x的周期為π，取絕對值后x軸下方的圖象翻折到x軸上方，周期變?yōu)樵瓉淼囊话耄�∴函�?shù)f（x）=|sin2x|的最小正周期是

π

2

，命題①正確；
對于②，函數(shù)y=sin(

3π

2

+x)=-cosx，函數(shù)是偶函數(shù)，命題②正確；
對于③，把x=

π

8

代入函數(shù)y=sin(2x+

5π

4

)，得y=sin(2×

π

8

+

5π

4

)=sin

3π

2

=-1．
∴x=

π

8

是函數(shù)y=sin(2x+

5π

4

)的一條對稱軸，命題③正確；
對于④，把x=

π

2

代入y=tan(x+

π

3

)，得y=tan(

π

2

+

π

3

)=-

3

3

．命題④錯誤；
對于⑤，∵sinαcosα=

1

2

sin2α，
∴sinαcosα的最大值為

1

2

．命題⑤錯誤．
∴正確命題的個數(shù)是3個．
故答案為：3．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．