Question

已知雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的與雙曲線C2：3x2-y2=1有公共漸近線，且過點A（1，0）．
（1）求雙曲線C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)F₁、F₂分別是雙曲線C₁左、右焦點．若P是該雙曲線左支上的一點，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面積S．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì),直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知條件設(shè)雙曲線C₁：3x²-y²=λ，λ≠0，把點A（1，0）代入，能求出雙曲線C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)|PF₂|=m，|PF₁|=n，由已知條件推導(dǎo)出|m-n|=2，由此利用余弦定理能求出mn=12，從而能求出△F₁PF₂的面積S．

解答： 解：（1）∵雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的與雙曲線C2：3x2-y2=1有公共漸近線，
∴設(shè)雙曲線C₁：3x²-y²=λ，λ≠0，
∵雙曲線C₁過點A（1，0），
∴3=λ，∴雙曲線C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-

y2

3

=1．
（2）設(shè)|PF₂|=m，|PF₁|=n，
則|m-n|=2，
在△F₁PF₂中，由余弦定理有16=m²+n²-2mncos60°=|m-n|²+2mn-mn，
∴mn=12，
∴S=

1

2

mnsin60°=

1

2

×12×

3

2

=3

3

．

點評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意余弦定理的合理運用．