Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若為曲線上任意一點(diǎn)，為直線任意一點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 直線的直角坐標(biāo)方程為,曲線的軌跡方程是上半圓;(2) 的最小值為.

【解析】試題分析：

（1）將曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)消去可得普通方程，根據(jù)變換公式消去可得直線的直角坐標(biāo)方程．（2）由于曲線C為半圓，根據(jù)直線和圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為圓心到直線的距離減去半徑求解即可．

試題解析：

（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），

消去參數(shù)可得，

由于，所以，

故曲線的軌跡方程是.

由，可得，即，

把代入上式可得，

故直線的直角坐標(biāo)方程為.

（2）由題意可得點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在半圓上，

半圓的圓心到直線的距離等于，

故的最小值為.