Question

已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₇=a₆+2a₅，若a_ma_n=16，則

1

m

+

4

n

的最小值為（　�。�

• A、

  3

  2

• B、

  5

  3

• C、

  25

  6

• D、不存在

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知中正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，我們易求出數(shù)列的公比，再結(jié)合a_ma_n=16，我們可以求出正整數(shù)m，n的和，再結(jié)合基本不等式中“1”的活用，即可得到答案．

解答： 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₁=1，a₇=a₆+2a₅，∴q⁶=q⁵+2q⁴
即q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去）
∵a_ma_n=16，∴m+n=6
則6（

1

m

+

4

n

）=（m+n）（

1

m

+

4

n

）=5+（

n

m

+

4m

n

）≥5+4=9
則

1

m

+

4

n

≥

9

6

=

3

2

．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是等比數(shù)列的性質(zhì)，基本不等式，其中根據(jù)已知中正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，a_ma_n=16，將問題轉(zhuǎn)化為用基本不等式求最值是解答本題的關(guān)鍵．