Question

已知函數(shù)y=x（

1

3x-1

+

1

2

），證明其在定義域上恒大于0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，求函數(shù)的定義域，然后，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷得到

1

3x-1

取值情況，最后，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行說明即可．

解答： 解：∵3^x-1≠0，
∴x≠0，
∴x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
定義域（-∞，0）∪（0，+∞），
∵f（-x）=（-x）（

1

3-x-1

+

1

2

）
=(-x)(

3x

1-3x

+

1

2

)=x(

3x

3x-1

-

1

2

)
=x(

3x-1+1

3x-1

-

1

2

)=x(1+

1

3x-1

-

1

2

)
=x(

1

3x-1

+

1

2

)
=f（x），
∴函數(shù)y=f（x）=x（

1

3x-1

+

1

2

）為偶函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，+∞）時，3^x＞1，

1

3x-1

+

1

2

＞

1

2

，
∴y=x(

1

3x-1

+

1

2

)＞0，
又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，
∴當(dāng)x∈（-∞，0）時，
y=x(

1

3x-1

+

1

2

)＞0，
綜上，得y＞0，
∴函數(shù)y=x

1

3x-1

+

1

2

在定義域上恒大于0．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，難度�。�