Question

【題目】如圖，在四邊形中，，，，，，E是的中點.現將沿翻折，使點A移動至平面外的點P.

（1）若，求證：平面；

（2）若平面平面，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）法一：在線段上取靠近點P的四等分點G，連接，，證出四邊形為平行四邊形，從而可得，再利用線面平行的判定定理即可證出. 法二：在線段上取靠近點B的四等分點H，連接，，證出平面，平面，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再利用面面平行的性質定理即可證出.

（2）以E為原點，為軸，為軸，過點E垂直平面的垂線為軸， 建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，取平面的一個法向量為，利用空間向量的數量積即可求解.

（1）法一：依題意得，，，且，

如圖，在線段上取靠近點P的四等分點G，連接，，

因為，所以，.

所以，

所以四邊形為平行四邊形，可得

又平面，平面，

所以平面

法二：如圖，在線段上取靠近點B的四等分點H，連接，，

因為，所以.

又平面，平面，

所以平面

依題意得，，，且，

而，所以，.

所以四邊形為平行四邊形.

所以.

又平面，平面，

所以平面

而平面，平面，，

所以平面平面.

因為平面，所以平面

（2）由，得.

又因為平面平面，平面平面，

所以平面

以E為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，

則，，，，

由，得

則，.

設平面的法向量為，

則，即，

故可取

又平面，可取平面的一個法向量為，

則.

所以，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.