Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=$\sqrt{7}$，PA=$\sqrt{3}$，∠ABC=120°，G為線段PC上的點，
（1）證明：BD⊥平面PAC
（2）若G是PC的中點，求DG與平面APC所成的角的正切值．

Answer 1

分析 （1）推導出PA⊥BD，BD⊥AC，由此能證明BD⊥平面PAC．
（2）由PA⊥平面ABCD，得GO⊥面ABCD，∠DGO為DG與平面PAC所成的角，由此能求出DG與平面APC所成的角的正切值．

解答 證明：（1）∵在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，
設AC與BD的交點為O，
∵AB=BC=2，AD=CD=$\sqrt{7}$，PA=$\sqrt{3}$，
∴BD是AC的中垂線，故O為AC的中點，且BD⊥AC．
而PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
解：（2）若G是PC的中點，O為AC的中點，則GO平行且等于$\frac{1}{2}$PA，
故由PA⊥平面ABCD，得GO⊥面ABCD，
∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO為DG與平面PAC所成的角．
由題意可得GO=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在△ABC中，由余弦定理得：
AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC=4+4-2×2×2×cos120°=12，
∴AC=2$\sqrt{3}$，OC=$\sqrt{3}$，
Rt△COD中，OD=$\sqrt{C{D}^{2}-C{O}^{2}}$=2，
∴Rt△GOD中，tan$∠DGO=\frac{OD}{OG}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴DG與平面APC所成的角的正切值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．