Question

【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD為正方形，平面AED⊥平面ABCD，AB= EA= ED，EF∥BD
（I）證明：AE⊥CD
（II）在棱ED上是否存在點M，使得直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為 ？若存在，確定點M的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD⊥AD， 又平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，CD平面ABCD，
∴CD⊥平面AED，∵AE平面AED，
∴AE⊥CD．
（II）解：取AD的中點O，過O作ON∥AB交BC于N，連接EO，
∵EA=ED，∴OE⊥AD，又平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，OE平面AED，
∴OE⊥平面ABCD，
以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，如圖所示：
設(shè)正方形ACD的邊長為2， ，
則A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），E（0，0，1），M（﹣λ，0，λ）
∴ =（﹣λ﹣1，0，λ）， =（1，0，1）， =（2，2，0），
設(shè)平面BDEF的法向量為 =（x，y，z），
則 ，即 ，令x=1得 =（1，﹣1，﹣1），
∴cos＜ ＞= = ，
令| |= ，方程無解，
∴棱ED上不存在點M，使得直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為 ．

【解析】（I）利用面面垂直的性質(zhì)得出CD⊥平面AED，故而AE⊥CD；（II）取AD的中點O，連接EO，以O(shè)為原點建立坐標(biāo)系，設(shè) ，求出平面BDEF的法向量 ，令|cos＜ ＞|= ，根據(jù)方程的解得出結(jié)論．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識點，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．