Question

已知

a

=（1，2），

b

=（x，y）．
（Ⅰ）若x是從-2，0，1，2四個數(shù)中任取的一個數(shù)，y是從-1，0，1三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求

a

⊥

b

的概率．
（Ⅱ）若x是從區(qū)間[-1，2]中任取的一個數(shù)，y是從區(qū)間[-1，1]中任取的一個數(shù)，求

a

，

b

的夾角是鈍角的概率．

Answer 1

考點：數(shù)量積表示兩個向量的夾角,列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,幾何概型

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)“

a

⊥

b

”為事件A，由

a

⊥

b

，得x-2y=0．所有的（x，y）的集合Ω共包含12個基本事件．
其中A包含3個基本事件，由此求得事件A發(fā)生的概率．
（Ⅱ）設(shè)“

a

，

b

的夾角是鈍角”為事件B，由

a

•

b

＜0，求得B包含的區(qū)域，求得Ω={（x，y）|-1≤x≤2，-1≤y≤1}，則B包含區(qū)域的面積除以Ω包含區(qū)域的面積，即為所求．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)“

a

⊥

b

”為事件A，由

a

⊥

b

，得x-2y=0．
所有的（x，y）的集合Ω={（-2，-1），（-2，0），（-2，1），（0，-1），（0，0），（0，1），（1，-1），（1，0），（1，1），（2，-1），（2，0），（2，1）}共包含12個基本事件．
其中A={（-2，-1），（0，0），（2，1）}，包含3個基本事件，
則P(A)=

3

12

=

1

4

．
（Ⅱ）設(shè)“

a

，

b

的夾角是鈍角”為事件B，由

a

，

b

的夾角是鈍角，
可得

a

•

b

＜0，即x-2y＜0且y≠-2x，x＜0．
∵Ω={（x，y）|-1≤x≤2，-1≤y≤1}，B={（x，y）|-1≤x≤2，-1≤y≤1，x-2y＜0}，
則P(B)=

SB

SΩ

=

1 2 × 3 2 ×3

3×2

=

3

8

．

點評：本題主要考查兩個向量垂直的條件、用兩個向量的數(shù)量積表示兩個向量的夾角，幾何概型的應(yīng)用，屬于中檔題．