Question

已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+）-sin²x+sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）當(dāng)時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+）-sin²x+sinxcosx，利用和角公式，以及二倍角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，
（1）利用周期公式直接求出f（x）的最小正周期；
（2）利用y=sinx的單調(diào)增區(qū)間，求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間即可；
（3）當(dāng)時(shí)，求出2x+的范圍，然后求出2sin（2x+）的范圍就是 求f（x）的值域．
解答：解：f（x）=2cosxsin（x+）-（sinx）²+sinxcosx=2cosx（sin+cos）-+sin2x
=sinxcosx+-++
=sin2x+cos2x
=2sin（2x+）
（1）因?yàn)門===π，所以函數(shù)的最小正周期是π．
（2）y=sinx的單調(diào)增區(qū)間是[2kπ-，2kπ+]k∈Z，則函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+）-sin²x+sinxcosx
即：2sin（2x+）的單增區(qū)間：2x+∈[2kπ-，2kπ+]
解得x∈[kπ-，kπ+]（k∈Z）
（3），則2x+∈[，]，所以2sin（2x+）∈[，1]
所以函數(shù)的值域?yàn)椋篬，1]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查計(jì)算能力，邏輯思維能力，是中檔題．