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【題目】已知函數

(1)求函數的單調區(qū)間;

(2)若函數的圖象在點處的切線的傾斜角為45°,對于任意的,函數在區(qū)間上總不是單調函數,求的取值范圍.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析】(1)求出函數的定義域,對函數求導后,分類討論函數的單調區(qū)間.(2)傾斜角為,斜率為,根據斜率為可求得的值.化簡的表達式,求出的導數,將函數在區(qū)間上不是單調函數的問題,轉化為函數導數在區(qū)間上有變號零點問題來求解.

試題解析

(1)函數f(x)的定義域為(0,+∞),且f′(x)=.

a>0時,f(x)的增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(1,+∞);

a<0時,f(x)的增區(qū)間為(1,+∞),減區(qū)間為(0,1);

a=0時,f(x)不是單調函數.

(2)由(1)及題意得f′(2)=-=1,即a=-2,

f(x)=-2ln x+2x-3,f′(x)=.

g(x)=x3x2-2x

g′(x)=3x2+(m+4)x-2.

g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調函數,

g′(x)=0在區(qū)間(t,3)上有變號零點.由于g′(0)=-2,

g′(t)<0,即3t2+(m+4)t-2<0對任意t∈[1,2]恒成立,

由于g′(0)<0,故只要g′(1)<0且g′(2)<0,

m<-5且m<-9,即m<-9;

g′(3)>0,即m>-.

所以-m<-9.

即實數m的取值范圍是.

練習冊系列答案
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