Question

【題目】（本小題滿分12分）

如圖，在五棱錐中，，且.

（1）已知點(diǎn)在線段上，確定的位置，使得；

（2）點(diǎn)分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，與恰好重合，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)為靠近的三等分點(diǎn)；（2）.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)點(diǎn)為靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，在線段取一點(diǎn)，使得，連結(jié)，可證四邊形為平行四邊形，得，再根據(jù)比例關(guān)系得，從而得平面平面，進(jìn)而得結(jié)論；（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，再列方程組求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式求解即可.

試題解析：（1）點(diǎn)為靠近的三等分點(diǎn).

在線段取一點(diǎn)，使得，連結(jié).

.

又,四邊形為平行四邊形，.

點(diǎn)為靠近的三等分點(diǎn)，.

，而.

（2）取的中點(diǎn)，連接，，又，

.

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則.

設(shè).則

翻折后，與重合，，又.

故，從而，.

.

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，

則

取，則.

設(shè)直線與平面所成角為，則，

故直線與平面所成角的正弦值為.