Question

【題目】已知點(diǎn)P為直線上任意一點(diǎn)，，M為平面內(nèi)一點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡E的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)P作曲線E的切線，切點(diǎn)分別是.若，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意可知點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，由拋物線的定義即可寫出點(diǎn)M的軌跡E的方程；

（Ⅱ）依題可設(shè)點(diǎn)，切線方程為，根據(jù)直線與拋物線相切，可得，求解出根與系數(shù)的關(guān)系，再設(shè)出直線的斜率為，直線的斜率為，即可用表示出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列出方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可解出．

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，交直線于點(diǎn)N，

因?yàn)?/span>，所以，

即點(diǎn)M的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線．

因?yàn)?/span>，所以，所以點(diǎn)M的軌跡E的方程為．

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，顯然切線的斜率存在且不為0，設(shè)斜率為，

則切線方程為，

代入得，，

，所以.

設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，

則.

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，

得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，

即切點(diǎn)，

所以

，

其中，

所以，

所以，即，解得，即．

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．