Question

某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株，設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別

2

3

和

1

2

，且各株大樹是否成活互不影響，求移栽的4株大樹中：
（1）求甲種樹成活的株數(shù)η的方差；
（2）兩種大樹各成活1株的概率；
（3）成活的株數(shù)ξ的分布列與期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用二項分布的方差公式，可得結(jié)論；
（2）設(shè)A_k表示甲種大樹成活k株，k=0，1，2，B_l表示乙種大樹成活l株，l=0，1，2，則A_k，B_l獨立．由獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的概率公式，可求兩種大樹各成活1株的概率；
（3）確定ξ的所有可能值為0，1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率，即可求出成活的株數(shù)ξ的分布列與期望．

解答： 解：（1）甲種樹每株成活的概率p=

2

3

，Dη=np(1-p)=2×

2

3

×

1

3

=

4

9

…3’
（2）設(shè)A_k表示甲種大樹成活k株，k=0，1，2，B_l表示乙種大樹成活l株，l=0，1，2
則A_k，B_l獨立．由獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的概率公式有P(Ak)=Ck2(

2

3

)k(

1

3

)2-k，P(Bl)=Cl2(

1

2

)l(

1

2

)2-l..…5’
據(jù)此算得P(A0)=

1

9

，P(A1)=

4

9

，P(A2)=

4

9

.P(B0)=

1

4

，P(B1)=

1

2

，P(B2)=

1

4

…7’
所求概率為P(A2•B1)=P(A1)•P(B1)=

4

9

×

1

2

=

2

9

…9’
（3）解法一：ξ的所有可能值為0，1，2，3，4，且P(ξ=0)=P(A0•B0)=P(A0)•P(B0)=

1

9

×

1

4

=

1

36

，P(ξ=1)=P(A0•B1)+P(A1•B0)=

1

9

×

1

2

+

4

9

×

1

4

=

1

6

，P(ξ=2)=P(A0•B2)+P(A1•B1)+P(A2•B0)=

1

9

×

1

4

+

4

9

×

1

2

+

4

9

×

1

4

=

13

36

，P(ξ=3)=P(A1•B2)+P(A2•B1)=

4

9

×

1

4

+

4

9

×

1

2

=

1

3

.P(ξ=4)=P(A2•B2)=

4

9

×

1

4

=

1

9

…11’
綜上知ξ有分布列

N(xN，0)， OM + ON = OQ	0	1	2	3	4
P	1/36	1/6	13/36	1/3	1/9

..…12’
從而，N(xN，0)，

OM

+

ON

=

OQ

的期望為Eξ=0×

1

36

+1×

1

6

+2×

13

36

+3×

1

3

+4×

1

9

=

7

3

（株）..…14’
解法二：
分布列的求法同上
令ξ₁，ξ₂分別表示甲乙兩種樹成活的株數(shù)，則ξ1～B(2，

2

3

)，ξ2～B(2，

1

2

)..…11’
故有Eξ1=2×

2

3

=

4

3

，Eξ2=2×

1

2

=1..…13’
從而知Eξ=Eξ1+Eξ2=

7

3

..…14’

點評：本題考查的知識點是相互獨立事件的概率乘法公式，離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望，其中在求隨機變量ξ的分布列時，對隨機變量的每一個取值，要注意不重不漏，以便準(zhǔn)確的計算出ξ取得各值時的概率，這也是計算分布列及數(shù)學(xué)期望時最容易產(chǎn)生的錯誤．