Question

現(xiàn)在要對(duì)某個(gè)學(xué)校今年將要畢業(yè)的900名高三畢業(yè)生進(jìn)行乙型肝炎病毒檢驗(yàn)，可以利用兩種方法．①對(duì)每個(gè)人的血樣分別化驗(yàn)，這時(shí)共需要化驗(yàn)900次；②把每個(gè)人的血樣分成兩份，取其中m個(gè)人的血樣各一份混合在一起作為一組進(jìn)行化驗(yàn)，如果結(jié)果為陰性，那么對(duì)這m個(gè)人只需這一次檢驗(yàn)就夠了；如果結(jié)果為陽(yáng)性，那么再對(duì)這m個(gè)人的另一份血樣逐個(gè)化驗(yàn)，這時(shí)對(duì)這m個(gè)人一共需要m+1次檢驗(yàn)．據(jù)統(tǒng)計(jì)報(bào)道，對(duì)所有人來(lái)說(shuō)，化驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性的概率為0.1．
（1）求當(dāng)m=3時(shí)，一個(gè)小組經(jīng)過(guò)一次檢驗(yàn)就能確定化驗(yàn)結(jié)果的概率是多少？
（2）試比較在第二種方法中，m=4和m=6哪種分組方法所需要的化驗(yàn)次數(shù)更少一些？

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）m=3時(shí)，一個(gè)小組有3個(gè)人，經(jīng)過(guò)一次檢驗(yàn)就能確定化驗(yàn)結(jié)果是指經(jīng)過(guò)一次檢驗(yàn)，結(jié)果為陰性，可得結(jié)論；
（2）求出m=4和m=6時(shí)的期望，比較大小，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)m=3時(shí)，一個(gè)小組有3個(gè)人，經(jīng)過(guò)一次檢驗(yàn)就能確定化驗(yàn)結(jié)果是指經(jīng)過(guò)一次檢驗(yàn)，結(jié)果為陰性，所以概率為p=（1-0.1）³=0.729；
（2）當(dāng)m=4時(shí)，一個(gè)小組有4個(gè)人，這時(shí)每個(gè)人需要檢驗(yàn)的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量η₁，其分布列為

η1	1 4	5 4
P	0.94	1-0.94

所以Eη1=

1

4

×0.94+

5

4

×(1-0.94)=0.59；
當(dāng)m=6時(shí)，一個(gè)小組有6個(gè)人，這時(shí)需要檢驗(yàn)的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量η₂，其分布列為

η2	1 6	7 6
P	0.96	1-0.96

所以Eη2=

1

6

×0.96+

7

6

×(1-0.96)=0.64，
由于Eη₂＞Eη₁，因此當(dāng)每4個(gè)人一組時(shí)所需要的化驗(yàn)次數(shù)更少一些．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了概率的計(jì)算，同時(shí)考查了離散型變量的數(shù)學(xué)期望以及計(jì)算能力，屬于中檔題．