Question

若|x-1|+|x+2|＞a對x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先分析題目已知不等式|x-1|+|x+2|＞a恒成立，求a的取值范圍，即需要a小于|x-1|+|x+2|的最小值即可．對于求|x-1|+|x+2|的最小值，可以分析它幾何意義：在數(shù)軸上點x到點-2的距離加上點x到點1的距離．分析得當(dāng)x在-2和1之間的時候，取最小值，即可得到答案．

解答： 解：已知不等式|x-1|+|x+2|＞a恒成立，即需要a小于|x-1|+|x+2|的最小值即可．
故設(shè)函數(shù)y=|x+2|+|x-1|，設(shè)-2、1、x在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別是A、B、P．
則函數(shù)y=|x+2|+|x-1|的含義是P到A的距離與P到B的距離的和．
可以分析到當(dāng)P在A和B的中間的時候，距離和為線段AB的長度，此時最�。�
即：y=|x+2|+|x-1|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+2|+|x-1|的最小值為3．
即：a＜3．
a的取值范圍：a＜3．

點評：此題主要考查不等式恒成立的問題，其中涉及到絕對值不等式求最值的問題，對于y=|x-a|+|x-b|類型的函數(shù)可以用分析幾何意義的方法求最值．