Question

（2012•威海二模）某市職教中心組織廚師技能大賽，大賽依次設(shè)基本功（初賽）、面點(diǎn)制作（復(fù)賽）、熱菜烹制（決賽）三個(gè)輪次的比賽，已知某選手通過初賽、復(fù)賽、決賽的概率分別是

3

4

，

2

3

，

1

4

且各輪次通過與否相互獨(dú)立．
（I）設(shè)該選手參賽的輪次為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）對(duì)于（I）中的ξ，設(shè)“函數(shù)f（x）=3sin

x+ξ

2

π（x∈R）是偶函數(shù)”為事件D，求事件D發(fā)生的概率．

Answer 1

分析：（I）確定ξ可能取值為1，2，3，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）分別確定當(dāng)ξ=1、2、3時(shí)，函數(shù)f（x）的奇偶性，即可求得事件D發(fā)生的概率．

解答：解：（I）ξ可能取值為1，2，3．-------------------------------（2分）
記“該選手通過初賽”為事件A，“該選手通過復(fù)賽”為事件B，則
P（ξ=1）=P（

.

A

）=1-

3

4

=

1

4

；P（ξ=2）=P（A

.

B

）=P（A）P（

.

B

）=

3

4

×(1-

2

3

)=

1

4

；
P（ξ=3）=P（AB）=P（A）P（B）=

3

4

×

2

3

=

1

2

--------------------（5分）
ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	1 4	1 4	1 2

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1×

1

4

+2×

1

4

+3×

1

2

=

9

4

------------------------（7分）
（Ⅱ）當(dāng)ξ=1時(shí)，f（x）=3sin（

π

2

x+

π

2

）=3cos

π

2

x，∴f（x）為偶函數(shù)；
當(dāng)ξ=2時(shí)，f（x）=3sin（

π

2

x+π）=-3sin

π

2

x，∴f（x）為奇函數(shù)；
當(dāng)ξ=3時(shí)，f（x）=3sin（

π

2

x+

3π

2

），∴f（x）為偶函數(shù)；
∴事件D發(fā)生的概率是

2

3

．-----------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，正確求概率是關(guān)鍵．