Question

7．已知a_n=$\frac{4{n}^{2}+k}{2n+1}$，{a_n}為等差數(shù)列．
（1）求k的值及{2^a_n}的前n項和S_n；
（2）記b_n=$\frac{n{a}_{n}{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過化簡可知a_n=2n-1+$\frac{k+1}{2n+1}$，進而可知k=-1，通過$\frac{{2}^{{a}_{n+1}}}{{2}^{{a}_{n}}}$可知數(shù)列{${2}^{{a}_{n}}$}是公比為4的等比數(shù)列，進而計算可得結論；
（2）通過化簡、裂項可知b_n=n+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并項相加即得結論．

解答 解：（1）a_n=$\frac{4{n}^{2}+k}{2n+1}$=$\frac{4{n}^{2}-1+k+1}{2n+1}$=2n-1+$\frac{k+1}{2n+1}$，
∵{a_n}為等差數(shù)列，
∴k+1=0，即k=-1，
∴a_n=$\frac{4{n}^{2}-1}{2n+1}$=2n-1，
∵${2}^{{a}_{n}}$=2^2n-1，
∴$\frac{{2}^{{a}_{n+1}}}{{2}^{{a}_{n}}}$=$\frac{{2}^{2n+1}}{{2}^{2n-1}}$=4，
即數(shù)列{${2}^{{a}_{n}}$}是公比為4的等比數(shù)列，且${2}^{{a}_{1}}$=2，
∴S_n=$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{2}{3}$•4ⁿ-$\frac{2}{3}$；
（2）∵a_n=2n-1，
∴b_n=$\frac{n{a}_{n}{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=n+$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=n+$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$
=n+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=[1+（1-$\frac{1}{3}$）]+[2+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）]+…+[n+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]
=（1+2+…+n）+[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]
=$\frac{n（n+1）}{2}$+1-$\frac{1}{2n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．