Question

17．（1）設(shè)0＜a＜1，0＜θ＜$\frac{π}{4}，x={（sinθ）^{{{log}_a}sinθ}}，y={（cosθ）^{{{log}_a}tanθ}}$．則x，y的大小關(guān)系為x＜y
（2）已知對x∈R，當(dāng)b＞0時acosx+bcos2x≥-1恒成立，求（a+b）_max．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)采用作差法判斷即可；
（2）變形得：acosx+bcos2x+1=2bcos²x+acosx+1-b，令cosx=t，t∈[-1，1]，則當(dāng)f（t）=2bt²+at+1-b≥0時，t∈[-1，1]恒成立，分b＞1，0＜b≤1兩種情況討論：b＞1時易判斷不成立；0＜b≤1時可得f（1）≥0，f（-1）≥0，由此可得|a|≤b+1（*），通過討論對稱軸的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出即可．

解答 解：（1）∵0＜θ＜$\frac{π}{4}，x={（sinθ）^{{{log}_a}sinθ}}，y={（cosθ）^{{{log}_a}tanθ}}$，
∴${log}_{a}^{sinθ}$=${log}_{sinθ}^{x}$，${log}_{a}^{tanθ}$=${log}_{cosθ}^{y}$，
∴x=${a}^{{{（log}_{a}^{sinθ}）}^{2}}$，y=${a}^{{{（log}_{a}^{tanθ}log}_{a}^{cosθ}）}$，
∵${{（log}_{a}^{sinθ}）}^{2}$-${log}_{a}^{tanθ}$•${log}_{a}^{cosθ}$
=${log}_{a}^{sinθ}$•${log}_{a}^{sinθ}$-${log}_{a}^{sinθ}$${log}_{a}^{cosθ}$+${log}_{a}^{cosθ}$•${log}_{a}^{cosθ}$
=${log}_{a}^{sinθ}$•${log}_{a}^{tanθ}$+${{（log}_{a}^{cosθ}）}^{2}$，
∵0＜a＜1，0＜θ＜$\frac{π}{4}$，
∴${log}_{a}^{sinθ}$＞0，${log}_{a}^{tanθ}$＞0，
∴${{（log}_{a}^{sinθ}）}^{2}$＞${log}_{a}^{tanθ}$•${log}_{a}^{cosθ}$，
∴x＜y；
故答案為：x＜y．
（2）由題意知：acosx+bcos2x+1
=acosx+b（2cos²x-1）+1
=2bcos²x+acosx+1-b，
令cosx=t，t∈[-1，1]，則當(dāng)f（t）=2bt²+at+1-b≥0時，t∈[-1，1]恒成立，
①當(dāng)b＞1時，f（0）=1-b＜0，不滿足f（t）=2bt²+at+1-b≥0，t∈[-1，1]恒成立；
②當(dāng)0＜b≤1時，則必有$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a+b+1≥0}\\{f（-1）=b-a+1≥0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a≥-（b+1）}\\{a≤b+1}\end{array}\right.$⇒|a|≤b+1（*），
（i）當(dāng)對稱軸t=-$\frac{a}{4b}$∉[-1，1]時，即|$\frac{a}{4b}$|≥1，也即|a|≥4b時，有4b≤|a|≤b+1，
則b≤$\frac{1}{3}$，則|a|≤b+1≤$\frac{4}{3}$，則a+b≤$\frac{5}{3}$，
當(dāng)a=$\frac{4}{3}$，b=$\frac{1}{3}$時，（a+b）_max=$\frac{5}{3}$；
（ii）當(dāng)對稱軸t=-$\frac{a}{4b}$∈[-1，1]時，即|$\frac{a}{4b}$|≤1，也即|a|≤4b時，
則必有△=a²-8b（1-b）≤0，即a²≤8b（1-b）=8b-8b²，
又由（*）知a²≤（b+1）²，
則由于（b+1）²-（8b-8b²）=9b²-6b+1=（3b-1）²≥0，
故只需a²≤8b-8b²成立即可，問題轉(zhuǎn)化為a²≤8b-8b²成立的條件下，求a+b的最大值，
把條件配方得：$\frac{{a}^{2}}{2}$+4${（b-\frac{1}{2}）}^{2}$≤1，
令$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}rcosθ}\\{b=\frac{1+rsinθ}{2}}\end{array}\right.$，（0≤r≤1），
∴a+b=$\sqrt{2}$cosθ+$\frac{rsinθ}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$rsin（θ+φ）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{3r}{2}$+$\frac{1}{2}$≤2，
∴（a+b）_max=2．

點(diǎn)評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)、正弦函數(shù)的值域、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值及恒成立問題，考查分類討論思想，考查三角換元法求函數(shù)的最值，綜合性強(qiáng)，能力要求高．